問題は昨年度同様、大問1～4の構成。また、配点は大問1『小問集合』(51点)、大問2『関数』(15点)、大問3『平面図形,図形の証明』(16点)、大問4『数と式,不確定な事象の起こりやすさ』(18点)でした。
以下、大問ごとに解説とポイントをお伝えします。また各問題に難易度をつけました。★☆☆は絶対落としたくない問題、★★☆は周りと差をつける問題、★★★は中堅～難関校合格のカギとなる問題です。是非参考にしてみて下さい。
【目次】
(1)①数と式の四則計算★☆☆…計算の順番と符号のミスに気を付けましょう。
(1)②文字と式★☆☆…分配法則と分数の足し算がポイントです。
(1)③展開★☆☆…(x-2)²を展開し、まとめられるところはしっかりと最後まで計算しましょう。
(2)①因数分解★☆☆…共通因数5でくくり、(x²-y²)を和と差の積の公式を使い(x+y)(x-y)にしましょう。
(2)②根号★★☆…①で因数分解した式に代入できれば、簡単な計算になり、ミスも起こりません。
(3)①相対度数★☆☆…40(90以上110未満の度数)÷240(全体,データの数)に気が付けば、比較的解きやすい問題です。
(3)②資料の読み取り★★☆…アは箱ひげ図から、125(最大値)-30(最小値)=95(範囲)なので誤り。イも累積度数(最小の階級からその階級までの和)は59+79+37=175で誤り。ウは正解。エは箱ひげ図から第3四分位数は95回なので誤り。データの活用は頻出なので要チェックです。
(4)①空間図形の対角線★☆☆…三平方の定理を使い、1:1:√2に気が付けば比較的簡単な問題です。
(4)②空間図形の体積★★☆…①同様三平方の定理で高さを求め、底面はひし形の公式、〇〇錐の×1/3を忘れない事で正解にたどり着きます。
(5)①場合の数★☆☆…3の倍数は3,6,9なので、3と6、3と9、6と9。実際に書けばクリアできます。
(5)②確率★★☆…総当たり表(リーグ対戦表)を書き、組み合わせなので右上半分で考えます(1と3、3と1は同じ扱いですね)。全部で15通りのうち、3の倍数になるのは12通り(3の倍数にならない場合を全体から引くと時短に)。12/15=4/5になります。
(6)①二次関数の座標★☆☆…xに代入すれば答えが出ます。間違えてyに代入しないようにしましょう。
(6)②二次関数の変域★★☆…yの最小値が0なので、xは0を含む必要があります。yの最大値3の時のxは3なので、０から3までの整数0,1,2,3が答えになります。
(7)作図★★★…接線の基本は垂線を引くこと。今回は、垂直二等分線で円の中心を求め、直径の円周角は90度であることを利用して接線を引いています。難易度は高めでした。
(1)①一次関数の座標★☆☆…y=8を代入しましょう。
(1)②直線の式★★☆…正方形なので傾きは-1。y=-x+bに点Aの座標(2,8)を代入すれば答えが出ます。
(1)③平面図形の座標★★★…これは難問です。まず点Aの座標を(n,4n)とします。点Eのx座標は13なので、点Aと点Cのx座標の平均が13。その和は26なので点Cの座標は(26-n,13-n/2)になります(この部分が難しいですね。点Eのx座標が13なので点Aと点Eのx座標の差は13-n、よってBCは26-2n、したがって点Cのx座標は26-nと考える方法もあります)。その後、ACをx軸とy軸に延長し、その交点をX,Yとする大きな三角形を作ります。また傾きが-1なので、1:1:√2の直角二等辺三角形がAの左上、Cの右下にでき、各辺の長さを出せます。原点をOするとOYは5n、OXは39-3/2nになるのでn=6。それぞれ代入して、点D座標は(20,24)となります。正解できた受験生はごく少数でしょう。
(1)円周角★☆☆…問題文を落ち着いて読み、直径の円周角は90度であることを知っていれば正解できる問題です。
(2)相似の証明★★☆…相似条件が2組の角なのは明らかなので、1つの外角はそのとなりにない2つの内角の和に等しいこと、等しい弧に対する円周角はどれも等しいことに気が付けば条件は揃います。ただ、書き方に苦戦した受験生も多かったでしょう。証明はまず、基本的な流れを掴んでおきましょう。部分点も狙えますので、細かく区切って、なぜそうなるか？を一つ一つ理解していくことが大切です。
(3)相似を用いた線分の長さ★★★…受験生はかなり苦戦したと思います。BFの長さがわかれば、ABの長さが出ます。条件で1:2があるので、相似になる三角形を探しましょう。BFと1:2が関係しているのは△GBF。そこに1:2が関係していて相似になりそうなのは△BEFです。∠GFBは共通なのであとひとつ等しい角を探しましょう。∠GBFと∠CEDは弧DCに対する円周角なので等しくなります。あとは∠CED＝∠BEFを証明できれば行けそうです。直径の円周角なので∠BEF+∠FEC=90°、FEは垂線なので∠FEC+∠CED=90°になります。よって∠CED＝∠BEF、∠GBF＝∠CEDから∠BEF=∠GBF。△BEF∽△GBFになりました。対応する辺の比からBF:GF=EF:BF、BFをxとおくとx:2=3:xになり、x=√6になります。よってAB=6-√6に。時間内に完答できる受験生は少なそうです。
(1)①会話文穴埋め(数と式)★☆☆…グー,チョキ,パーの点数の動きを、問題文に書きこめば意外と簡単に解ける問題です。長い文章だからといって、読む前から諦めてしまうことのないように、しっかり点数を取りましょう。
(1)②会話文穴埋め(文字式)★★☆…じゃんけんの回数は全部で10回なのでa+b+c=10は答えやすいと思います。また持ち点の合計は、2人の持ち点の組み合わせが-1,-3,4の3通りなので、-a-3b+4cで表すことが出来ます。今回はMをaとbを使って表すという条件が付いているので、M=-a-3b+4cにc=10-a-bを代入しなければなりません。この問題も、注意深く文章を読んでいれば十分得点できる問題です。
(2)不確定な事象の起こりやすさ★★★…(1)②で求めた式を使い、持ち点が0なので-5a-7b+40=0になります。aについて解くとa=8-7/5bとなります。10回のじゃんけんなので、aは0以上10以下の整数になるbは0,5の2通り。(1)①で求めた式にb=0,5をそれぞれ代入すると答えにたどり着きます。答えが分かっても、その過程を式やことばを使って説明するのは難しかったと思います。また、最後の問題ということもあり、冷静に解けなかった受験生も多いのではないでしょうか？完答するには普段から記述に慣れておくこと、また丸暗記ではなく自分が納得した上で、誰かに解説できるくらいのレベルを目指すと良いでしょう。
【まとめ】
大幅に問題構成が変わった昨年度よりは、構成が同様の今年度の方が落ち着いて解けたと思います。大問1の内容は全て押さえておきたいですが、なかでも近年頻出のデータの活用(四分位範囲と箱ひげ図)は来年度以降も要注意。入試攻略のポイントは『簡単な問題をスピーディーに解き、かつケアレスミスをしない』『その分、難問に時間をかける』の2点です。一見難しそうに見える問題も(1)は意外と簡単に答えが出ます。焦って得点できる問題を落とさないためにも、『より早く・より正確に・より深く』を心掛けて学んでいきましょう！
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